Hopfield网络求解TSP两种改进算法的仿真研究

1 引言
    用Hopfield神经网络求解旅行商问题(TSP)，给组合优化完备性问题的求解提供新的方法。但该算法会经常生成无效解，因此需进一步改进。有学者通过TSP网络的动态分析修正TSP的能量函数，从而获得有效解，但其能量函数的表达式过于复杂。有人简化该能量函数，进一步提出改进算法。这里拟对典型的两种改进算法进行仿真分析。

2 HopfieId网络的能量函数
    为将TSP问题映射成神经网络的动态过程，Hopfield采取置换矩阵的表示方法，用N×N个神经元组成Hopfield人工神经网络表示商人访问N个城市。
    网络达到稳定状态时各神经元的状态对应置换矩阵各元素的值(“1”或“0”)。用uxi表示神经元(x，i)的输出，相应的输入用Vxi表示。
    若城市x在i位置上被访问，则Vxi=1，否则Vxi=0。Hop-field定义如下形式的能量函数：
   

式中，A、B、C、D是实系数。dxy为城市x与y之间的距离。
    式中前3项是问题的约束项。最后1项是优化目标项。利用动态方程：
   

式中，VT表示V的转置。
    求得A、B、C、D和d描述的连接矩阵和及偏置，的表达式：

    Hopfield把能量函数的概念引入神经网络，从而开创求解优化问题的新方法。但该算法会以大百分比生成无效解，因此需进一步改进。

3 改进算法与仿真
3．1 改进算法1
    Aiyer等人从理论上证明Hopfield网络不能生成有效解的原因，并提出一个新的连接矩阵：

外部输入
    可从理论上证明该算法的有效性，试验也验证它几乎100％可获得有效解。利用上述改进算法对Hopfield的10城市问题进行模拟试验，已知其最短路径为2．690 6。模拟试验采用两种神经元状态更新函数，一种采用S型函数，即
   

    另一种采用如下定义的软限幅函数：
   

它是线性化近似的一种合理选择。图1给出软限幅函数及双曲正切函Uo取0．02时的曲线图。对于每种情况，从起始条件出发模拟运行200次，每次模拟在达到下列两条件之一时终止运行：(1)网络中的每个神经元均在[0．9，1]或[0，0．1]之间取值，分别对应神经元的“激活”(取值落在[0．9，1]中)或“抑制”状态(取值落在[0，0．1]中)，并且矩阵的每行每列恰有一个非零元素；(2)运行迭代次数大于10 000次。注意，没有以dE／dt=0判别迭代结束。因为满足dE／dt=0的点不一定是E的极小点或最小点，也可能是拐点。其次，即使是E的极小点，继续迭代有可能跳出这个极小点。取A=B=8，A1=7．75，D=2，步长δt=0．02，测试结果如表1和图1所示。由测试结果可知，软限幅的效果明显优于硬限幅，因为软限幅与线性化近似极为相似，但所需的收敛次数较多。
    研究表明，在S型函数UO=2情况下，网络给不出任何有效的解答。因为网络中的神经元无法收敛于其稳态(“激活”或“抑制”)。

3．2 改进算法2    Aiyer通过TSP网络的动态分析修正TSP的连接矩阵，从而获得有效解，但其表达式过于复杂，影响优化效果。简化该能量函数：

首先检查式(1)的前3项，其中，第3项仅在网络输出全为0时起约束作用，否则前2项已保证第3项成立。对前2项作如下修改：
   

    则第3项完全可省去。将优化目标项写成：

或

    也可满足优化要求。则TSP的能量函数简化为：
   

    下面以式(13)作为研究对象，其对应的网络连接矩阵和外部输入分别是：
   

    该算法可从理论上证明其有效性，仿真研究如下：取A=B=3，D=1，步长δt=0．05，对Uo=0．02和软限幅两种情况进行仿真，仿真终止条件与改进算法2相同。测试的统计结果如表2和图2所示。

从测试结果可以看出，该方法获得的最优解的个数明显的多于改进算法1。软限幅的效果明显优于sigmold函数的效果。但所需的收敛次数较多。这一点与改进算法1是一致的。在使用软限幅时获得最优解的概率大于95％，只是所需迭代次数稍多。

4 结束语
    对两种求解TSP的改进算法进行仿真研究，结果表明他们具有非常好的优化效果，在10城市问题上可近似100％的获得最优解。
    另外，该算法还具有对参数敏感度低的优点。改进算法的缺点是所需迭代次数较多。当采用大步长迭代时，可降低收敛所需的迭代次数，但会影响优化效果。
    这种影响对Uo=0．02的情况不明显，例如，在δt=0．5时，其优化效果与δt=0．05时几乎相同，所需迭代次数可降到450次左右。而对于软限幅的情况，步长的影响就明显了，δt= 0．5时，优化效果与图中Uo=0．02的情况差不多。下一步的工作拟采用变步长的方法，估计可大大降低所需的迭代次数。